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Naturwissenschaftlich-technologisches, sprachliches, wirtschafts- und sozialwissenschaftliches Gymnasium |
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Zahlenreihentests und mathematische Intelligenz? Der Intelligenz-Struktur-Test (I-S-T) von Amthauer R.
Amthauer entwickelte einen Intelligenztest, der die Struktur der Intelligenz
erfassen soll. 1 3 6 8 16 18 __ __ In der Vorstellung der Psychologen heißen die zu ergänzenden Zahlen 36 und 38, da alle Zahlen durch abwechselnde Addition von 2 bzw. Multiplikation durch 2 aus ihren Vorgängern hervorgehen. Ist dies wirklich die einzige Möglichkeit? Ein misslungener Test 1966 stellten sich an der FAU Erlangen-Nürnberg Mathematikstudenten, die soeben die Vorprüfung zum Staatsexamen bestanden hatten, - der Autor dieses Artikels zählte auch dazu - ihren Kollegen vom psychologischen Institut für einen Test zur Verfügung. Die Psychologen wollten eine (hypothetische) Korrelation zwischen der Abiturzeugnisnote in Mathematik und dem Bestehen der Vorprüfung untersuchen. Hierzu wurde der I-S-T von Amthauer durchgeführt. Die Auswertung war für die Versuchsleiter enttäuschend: Der IQ vieler Testpersonen war unter dem Durchschnitt. Welche psychologischen Folgerungen daraus gezogen wurden, ist dem Autor nicht bekannt geworden, doch gibt es eine mathematische Erklärung, die im Folgenden dargestellt werden soll. Bekannte Zahlenfolgen 1. Die Folge der geraden Zahlen 2 4 6 8 10 12 __ __ Unter der Annahme, dass wirklich die geraden Zahlen gemeint sind, wird man 14 und 16 als nächste Zahlen einsetzen. Das Bildungsgesetz kann auf zweierlei Weise formuliert werden: a) Rekursiv (jede Zahl wird aus ihrem Vorgänger bzw. aus ihren Vorgängern durch eine Formel berechnet):
wobei n als laufende Nummer eine natürliche Zahl ist. b) Allgemeines Bildungsgesetz:
wobei n wiederum als natürliche Zahl die laufende Nummer bedeutet. 2. Die Zahlenfolge von Fibonacci 1 1 2 3 5 8 __ __ Unter der Annahme, dass wirklich die Fibonacci-Folge gemeint ist, wird man 13 und 21 als nächste Zahlen einsetzen. Auch hier kann das Bildungsgesetz auf zwei verschiedene Arten angegeben werden: a) Rekursiv:
b) Allgemeines Bildungsgesetz:
(Bronstein, [4] S. 313) 3. Die Folge der Primzahlen 2 3 5 7 11 13 __ __ Unter der Annahme, dass wirklich die Primzahlen-Folge gemeint ist, wird man 17 und 19 als nächste Zahlen einsetzen. Für die Primzahlen ist bis heute weder eine Rekursion noch ein allgemeines Bildungsgesetz bekannt! 4. Schwierigeres Beispiel 41 43 47 53 61 71 __ __ Unter der Annahme, dass auch hier Primzahlen vorliegen, wird man 83 und 97 als nächste Zahlen einsetzen. Allgemeines Bildungsgesetz:
Doch Vorsicht! Dies funktioniert bis n = 40 einwandfrei, für n = 41 erhält man dagegen die Quadratzahl 1681, also keine Primzahl! Man sieht, dass es logisch unvernünftig ist, aus sechs gegebenen Zahlen auf die folgende(n) zu schließen. 5. Weiteres Beispiel 2 3 4 5 6 7 __ __ Was spricht dagegen, wenn in obigen Beispielen schon zusätzliche Annahmen gemacht werden mussten, um zum Bildungsgesetz zu kommen, anzunehmen, dass hier die Gesetzmäßigkeit darin besteht, die sechs Zahlen fortwährend zu wiederholen? Dann würde man 2 und 3 als nächste Zahlen einsetzen. Dies ist logisch einwandfrei. 6. Verallgemeinerung 1 2 4 8 10 20 __ __ mit den von Psychologen erwarteten nächsten Zahlen 22 und 44. Offensichtlich benötigt man für die Angabe der nächsten Zahl ein Bildungsgesetz, das selbstverständlich wie oben gezeigt aus den vorgegebenen Zahlen nicht zwingend eindeutig hervorgeht. Es ist zu vermuten, dass der Psychologe Amthauer als Nichtmathematiker an ein Bildungsgesetz dachte, das "klar" ist. Der Mathematiker hingegen kennt unendlich viele. Dies soll im Folgenden gezeigt werden. Wir interpretieren die laufende Nummer der Zahl der Folge als Abszisse eines zweidimensionalen Punktes und die Zahl selbst als Ordinate. So erhält man in obigem Beispiel die Folge von Koordinaten (1; 1), (2; 2), (3; 4), (4; 8), (5; 10) und (6; 20). Als nächste Zahl lassen wir uns z.B. 5 einfallen, so dass daraus die Punktkoordinaten (7; 5) folgen. Die Zahl 5 wurde dabei willkürlich gewählt. Durch diese 7 Punkte ist eine ganzrationale Funktion 6. Grades eindeutig definiert, deren Graph diese Punkte enthält. Dies gilt auch, wenn man statt 5 eine beliebige andere Zahl gewählt hätte. Mit dem Ansatz für den Funktionsterm
erhält man nach dem Einsetzen der sieben Punktkoordinaten sieben Gleichungen mit sieben Unbekannten. Die eindeutige Lösung dieses Gleichungssystems ergibt:
Dies ist das allgemeine Bildungsgesetz obiger Zahlenfolge. Natürlich ist die achte Zahl auch beliebig wählbar. Das Bildungsgesetz wird dann ggf. anders aussehen. Daraus folgt, dass es allein unter der Annahme einer ganzrationalen Funktion als Bildungsgesetz unendlich viele Fortsetzungen der gegebenen sechs Zahlen gibt - alle logisch einwandfrei. Es ist nun leicht ersichtlich, dass bei anderen Ansätzen noch mehr Möglichkeiten existieren. Diese Erkenntnis ist sicher nicht im Sinne der Schöpfer der Intelligenztests! Das Problem liegt darin, dass Nichtmathematiker zu wenig Zahlen und zu wenig Funktionen kennen! Jetzt ist auch verständlich, weshalb die oben erwähnten Mathematikstudenten Schwierigkeiten bekamen. 6. Experiment ´mit einem Computerprogramm In folgender ActiveX-Komponente kann in den weißen Textfeldern eine Folge aus sechs beliebigen Zahlen vorgegeben werden. Dann ergänzt man ein gelbes Feld oder beide mit den erwarteten weiteren Zahlen. Nach dem Mausklick auf den "Rechne"-Knopf wird der berechnete, zu den gegebenen Zahlen gehörende Funktionsterm angezeigt. Setzt man zur Kontrolle für x eine natürliche Zahl ein, so erhält man die Folgenzahl an dieser Position. Mit dem "Clear"-Knopf wird die Anzeige gelöscht. (Wichtiger
Hinweis: Die ActiveX-Komponente wird nur mit dem MS-Internet-Explorer ab Version
4 richtig angezeigt. Ist an ihrer Stelle nur ein leeres Feld sichtbar, so ist
die Sicherheitseinstellung des Browsers zu hoch und muss verringert werden.
Programm: (c) H. Mendel 2001 Literatur
Autor: Hermann Mendel |
